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數(shù)學(xué)趣話:分析首位數(shù)問題

來源:網(wǎng)絡(luò) 文章作者:匿名 2009-03-02 20:34:06

智能內(nèi)容

  人們對(duì)生活中的許多現(xiàn)象由于習(xí)以為常而不求甚解?墒,如果仔細(xì)研究,這里面可能蘊(yùn)含著深?yuàn)W的道理。

  天文學(xué)家在進(jìn)行天文計(jì)算時(shí),經(jīng)常要使用對(duì)效表。本世紀(jì)韌,有一次天文學(xué)家西蒙·紐科姆在查對(duì)數(shù)表時(shí),偶然發(fā)現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象:對(duì)數(shù)表開始的幾頁總要比后面幾頁磨損得厲害。這說明人們?cè)诓閷?duì)數(shù)表時(shí),較多地是使用了以1為首的那幾頁。于是,紐科姆便產(chǎn)生這樣一個(gè)疑問:首位數(shù)是1的自然數(shù)在全體自然數(shù)中占有多大的比例?它是不是要比首位數(shù)是其它數(shù)字的自然效要多?人們后來就把這個(gè)問題稱為“首位數(shù)問題”。

  大家可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)問題是顯而易見的。因?yàn)槌耙酝,共有九個(gè)數(shù)字:1,2,3,4,5,6,7,8,9,用其中任何一個(gè)數(shù)字開頭的自然數(shù),在全體自然數(shù)中的分布是均勻的,機(jī)會(huì)應(yīng)該是均等的。這就是說,首位數(shù)為1的自然數(shù)應(yīng)該占全體自然數(shù)的1/9?墒牵聦(shí)并不這么簡(jiǎn)單。1974年,現(xiàn)在是美國(guó)斯坦福大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)家的珀西·迪亞科尼斯(當(dāng)時(shí)還在哈佛大學(xué)做研究生),研究了這個(gè)問題,所得到的結(jié)論出乎人們的意料:首位數(shù)是1的自然數(shù)約占全體自然數(shù)的1/3。準(zhǔn)確一點(diǎn)說,這個(gè)數(shù)值應(yīng)該是lg2約為0.30103。這是怎么一回事呢?

  事實(shí)上,用不同數(shù)字做首位數(shù)字,這樣的自然數(shù)的分布并不是很均勻的,也不是很規(guī)則的。首位數(shù)是1的自然數(shù)的分布規(guī)律是;

  I到9之間,這樣的數(shù)只有1個(gè),它就是1,所以占1/9;

 。傻剑玻爸g,這樣的數(shù)有11個(gè),它們是1,10,11……,19,所以約占1/2,

 。钡剑常爸g,這樣的數(shù)同樣有11個(gè),約占1/3,

 。钡剑保埃爸g.這樣的數(shù)仍然只有]1個(gè),約占1/9,

  l到200之間,這樣的數(shù)有111個(gè),它們是1,10,11,…,19,100,101,…,199,約占1/2。

  注意到首位數(shù)是1的自然數(shù)在以上各區(qū)間的個(gè)數(shù)與這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有自然數(shù)個(gè)數(shù)的比值,總是在1/2與1/9之間來回振蕩。于是,迪亞科尼斯經(jīng)過研究,終于運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的方法,得出這些比值的合理平均值,它就是上面所講到的lg2。.

  迪亞科尼斯當(dāng)時(shí)并不知道這樣偶然的發(fā)現(xiàn)有什么實(shí)際意義。后來,美國(guó)西雅田波音航天局?jǐn)?shù)學(xué)家梅爾達(dá)德·沙沙哈尼在研究用計(jì)算機(jī)描繪自然景象的問題時(shí),用上了這個(gè)結(jié)論。近年來,美國(guó)波音航天局將這一成果用于飛機(jī)模擬器,使飛行員在不離開地面的情況下接受訓(xùn)練,而能得到一種在空中飛行的實(shí)感。首位數(shù)問題的結(jié)論在科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮了重大的作用。

 

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