競賽講座 之 平面三角
來源:http://www.jiajiao100.com/ 文章作者:dfss 2008-11-04 11:19:31

競賽講座-平面三角 |
三角函數(shù)與反三角函數(shù),是五種基本初等函數(shù)中的兩種,在現(xiàn)代科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.同時它也是高考、數(shù)學(xué)競賽中的必考內(nèi)容之一. 一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括:定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等.這里以單調(diào)性為最難.它們在平面幾何、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用. 【例1】 求函數(shù)y=2sin( 解:y=2sin( 由2kπ- 得kπ- 即原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:[kπ- 【例2】 若φ∈(0, 解:∵在(0, ∵在(0, ∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。 【例3】 已知x,y∈[- 解:原方程組化為 ∵x,-2y∈[- ∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。 【例4】 求證:在區(qū)間(0, 證明:考慮函數(shù)f(x)=cos(sinx)-x,在區(qū)間[0, ∴存在唯一的d∈(0, 對上式兩邊取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。 顯然c∈(0, 故存在唯一的c<d,使命題成立。 【例5】 解:∵α、β、γ∈(0, ∴β=sin(ctgβ)< ctgβ,γ=ctg(sinγ)> ctgγ。 作出函數(shù)y=ctgx在(0, 【例6】 n∈N,n≥2,求證:cos 證明:∵0< ∴0<sin ∴(cos = ∴cos 二、三角恒等變換 眾多的三角公式,構(gòu)成了豐富多彩的三角學(xué)。要靈活地進(jìn)行三角恒等變換,除熟練地掌握三角公式以及一般的代數(shù)變形技巧外,更重要的是抓住三角式的結(jié)構(gòu)特征,從角和函數(shù)名入手,深入分析,靈活解題。 【例1】(1)已知cosβ= - (2)已知sin( 提示:(1)sinα= (2)sin2α=1-2 sin2( 【說明】三角變換重在角的變換。 【例2】求cos 解法1:利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2nθ= cos 又cos ∴cos 解法2:cos = = 解法3:利用公式cosαcos( 【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。 解:由倍角公式得 cos4θ=( ∴cos420°+cos440°+cos480°= + = 【例4】若sinα+cosβ= 解:令θ= (1)÷(2)得tg ∴sinαcosβ=sinαsinθ= - 【例5】已知f(x)= 解法一:由偶函數(shù)的定義,可得( ∴ ∴θ+=kπ,而0<θ<π,∴θ= 解法二:由f(- 【例7】方程sinx+ 解:∵sinx+ 令t= x+ 作出函數(shù)y= sint,t∈( 由圖象可以看出:當(dāng)-1< - 當(dāng)-2<a<- 當(dāng)- 【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。 解:由已知得, (1)2+(2)2得cos(x-y)= - 同理,cos(y-z)= - ∴x,y,z中任意兩角的終邊夾角為 x=y+ ∴x= z+ x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π, ∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz = tg3z+tg(z+ = tg3z+tg(z+ = tg3z+ tgz tg( =0。 【說明】如能熟練運用下列公式,可對解題帶來很大方便: sinαsin( cosαcos( tgαtg( 如sin10°sin50°sin70°= |
相關(guān)文章
- 小學(xué)1-6年級作文素材大全
- 全國小學(xué)升初中語數(shù)英三科試題匯總
- 小學(xué)1-6年級數(shù)學(xué)天天練
- 小學(xué)1-6年級奧數(shù)類型例題講解整理匯總
- 小學(xué)1-6年級奧數(shù)練習(xí)題整理匯總
- 小學(xué)1-6年級奧數(shù)知識點匯總
- 小學(xué)1-6年級語數(shù)英教案匯總
- 小學(xué)語數(shù)英試題資料大全
- 小學(xué)1-6年級語數(shù)英期末試題整理匯總
- 小學(xué)1-6年級語數(shù)英期中試題整理匯總
- 小學(xué)1-6年語數(shù)英單元試題整理匯總