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競賽講座 之 平面三角

來源:http://www.jiajiao100.com/ 文章作者:dfss 2008-11-04 11:19:31

智能內(nèi)容
競賽講座-平面三角

三角函數(shù)與反三角函數(shù),是五種基本初等函數(shù)中的兩種,在現(xiàn)代科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.同時它也是高考、數(shù)學(xué)競賽中的必考內(nèi)容之一.

一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

  三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括:定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等.這里以單調(diào)性為最難.它們在平面幾何、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用.

【例1】 求函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間。

解:y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z。

即原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:[kπ-,kπ-](k∈Z)。

【例2】  若φ∈(0,),比較sin(cosφ),cos(sinφ),cosφ這三者之間的大小。

解:∵在(0,)中,sinx<x<tgx,而0<cosx<1<,∴sin(cosφ)< cosφ。

∵在(0,)中,y=cosx單調(diào)遞減,∴cosφ< cos(sinφ)。

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】  已知x,y∈[-,],a∈R,且。求cos(x+2y)的值。

解:原方程組化為

∵x,-2y∈[-,],函數(shù)f(t)=t3+sint在[-,]上單調(diào)遞增,且f(x)=f(-2y)

∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。

【例4】 求證:在區(qū)間(0,)內(nèi)存在唯一的兩個數(shù)c、d(c<d),使得 sin(cosc)= c, cos(sind)= d.

證明:考慮函數(shù)f(x)=cos(sinx)-x,在區(qū)間[0,]內(nèi)是單調(diào)遞減的,并且連續(xù),由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f()=cos(sin)-= cos 1-<0,

∴存在唯一的d∈(0,),使f(d)=0,即cos(sind)= d.

對上式兩邊取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。

顯然c∈(0,)。且由y=sinx在(0,)上的單調(diào)性和d的唯一性,知c也唯一。

故存在唯一的c<d,使命題成立。

【例5】α、β、γ∈(0,),且ctgα=α,sin(ctgβ)=β,ctg(sinγ)=γ。比較α、β、γ的大小。

解:∵α、β、γ∈(0,),∴ctgβ>0,0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ,γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函數(shù)y=ctgx在(0,)上的圖象,可看出:β<α<γ。

【例6】  n∈N,n≥2,求證:cos?cos? ??? ?cos>。

證明:∵0<<<???<<<1,

∴0<sin<,cos2=1-sin2>1-=,k=2,3,…,n。

∴(cos?cos? ??? ?cos)2>(?)?(?)?(?)???(?)

=?>>()2,

∴cos?cos? ??? ?cos>。

二、三角恒等變換

眾多的三角公式,構(gòu)成了豐富多彩的三角學(xué)。要靈活地進(jìn)行三角恒等變換,除熟練地掌握三角公式以及一般的代數(shù)變形技巧外,更重要的是抓住三角式的結(jié)構(gòu)特征,從角和函數(shù)名入手,深入分析,靈活解題。

【例1】(1)已知cosβ= -,sin(α+β)= ,且0<α<<β<π,求sinα的值。

(2)已知sin(-α)= ,求的值。

提示:(1)sinα=

(2)sin2α=1-2 sin2(-α)=;=。

【說明】三角變換重在角的變換。

【例2】求coscoscos…cos的值。

解法1利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2nθ=,得

coscoscoscos= -,∴coscoscoscos=。

又coscos=,cos=,

∴coscoscos…cos=××=。

解法2coscoscos…cos

=??? ??? ?

==。

解法3利用公式cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α,取α=、。

【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。

解:由倍角公式得

cos4θ=()2= (1+2cos2θ+cos22θ)= +cos2θ+cos4θ,

∴cos420°+cos440°+cos480°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°)

+(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°)

= +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。

【例4】若sinα+cosβ=,cosα+sinβ=,求sinαcosβ的值。

解:令θ=-β,則

(1)÷(2)得tg=, cos(α+θ)=,

∴sinαcosβ=sinαsinθ= -[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -。

【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函數(shù),0<θ<π,求θ。

解法一:由偶函數(shù)的定義,可得(cosθ+sinθ)sinx=0對任意x∈R成立。

cosθ+sinθ=0,2 sin(θ+)=0,

∴θ+=kπ,而0<θ<π,∴θ=

解法二:由f(-)=f(),得θ=,然后驗證f(x)是偶函數(shù)。

【例7】方程sinx+cosx+a=0在(0,2π)內(nèi)有相異兩根α、β,求實數(shù)a的取值范圍,以及α+β的值。

解:∵sinx+cosx+a=0,∴sin (x+)= -。

令t= x+,則t∈(,),sint= -

作出函數(shù)y= sint,t∈(,)的圖象:

由圖象可以看出:當(dāng)-1< -<1且-即-2<a<-或-<a<2時,sint= -有相異兩根t1、t2,原方程有相異兩根α、β,并且

當(dāng)-2<a<-時,t1+t2=(α+)+(β+)=π,α+β=;

當(dāng)-<a<2時,t1+t2=(α+)+(β+)=3π,α+β=。

【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。

解:由已知得,

(1)2+(2)2得cos(x-y)= -,

同理,cos(y-z)= -,cos(z-x)= -。

∴x,y,z中任意兩角的終邊夾角為,不妨設(shè)

x=y++2mπ,m∈Z,y=z++2nπ,n∈Z

∴x= z++2(m+n)π,

x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π,

∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz

= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz

= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)

=0。

【說明】如能熟練運用下列公式,可對解題帶來很大方便:

sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α,

cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α,

tgαtg(+α)tg(-α)=tg3α。

如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)= 。

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