A5－022  一個(gè)自然數(shù)若能表為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“智慧數(shù)”比如16=5²－3²，16就是一個(gè)“智慧數(shù)”．在自然數(shù)列中從1開始數(shù)起，試問第1990個(gè)“智慧數(shù)”是哪個(gè)數(shù)？并請(qǐng)你說明理由．

【題說】1990年北京市賽高一復(fù)賽題4．

【解】顯然1不是“智慧數(shù)”，而大于1的奇數(shù)2k＋1=（k＋1）²－k²，都是“智慧數(shù)”．

4k=（k＋1）²－（k－1）²

可見大于4且能被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”而4不是“智慧數(shù)”，由于x²－y²=（x＋y）（x－y）（其中x、y∈N），當(dāng)x，y奇偶性相同時(shí)，（x＋y）（x－y）被4整除．當(dāng)x，y奇偶性相異時(shí)，（x＋y）（x－y）為奇數(shù)，所以形如4k＋2的數(shù)不是“智慧數(shù)”

在自然數(shù)列中前四個(gè)自然數(shù)中只有3是“智慧數(shù)”．此后每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“智慧數(shù)”．

由于1989=3×663，所以2656=4×664是第1990個(gè)“智慧數(shù)”．

A5－023  有n（≥2）名選手參加一項(xiàng)為期k天的比賽，每天比賽中，選手的可能得分?jǐn)?shù)為1，2，3，…，n，且沒有兩人的得分?jǐn)?shù)相同，當(dāng)k天比賽結(jié)束時(shí)，發(fā)現(xiàn)每名選手的總分都是26分．試確定數(shù)對(duì)（n，k）的所有可能情況．

【題說】第二十二屆（1990年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題1．

【解】所有選手得分總和為

kn（n＋1）/2=26n，即k（n＋1）=52

（n，k）取值可以是（3，13），（12，4），（25，2）及（51，1），但最后一種選擇不滿足要求．

當(dāng)（n，k）=（3，13）時(shí)，3名選手13天得分配置為（1，2，3）＋2（2，3，1）＋2（3，1，2）＋3（1，3，2）＋2（3，2，1）＋3（2，1，3）=（26，26，26）．

當(dāng)（n，k）=（12，4）時(shí)，12名選手4天得分配置為2（1，2，…，11，12）＋2（12，11，…，2，1）=（26，26，…，26）．

當(dāng)（n，k）=（25，2）時(shí)，25名選手兩天得分配置為（1，2，…，24，25）＋（25，24，…，2，1）=（26，26，…，26）．

A5－024  設(shè)x是一個(gè)自然數(shù)．若一串自然數(shù)x₀=1，x₁，x₂，…，x_t-1，x_t=x，滿足x_i-1＜x_i，x_i-1|x_i，i=1，2，…，t．則稱{x₀，x₁，x₂，…x_t}為x的一條因子鏈，t為該因子鏈的長度．T（x）與R（x）分別表示x的最長因子鏈的長度和最長因子鏈的條數(shù)．

對(duì)于x=5^k×31^m×1990ⁿ（k，m，n<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: