A5－015  將19分成若干個正整數(shù)之和，使其積為最大．

【題說】1984年上海市賽一試題2（9）．

【解】由于分法只有有限種，其中必有一種分法，分成的各數(shù)的積最大．我們證明這時必有：

（1）分成的正整數(shù)只能是2和3．

因?yàn)?/font>4=2＋2，且4=2×2，若分出的數(shù)中有4，拆成兩個2其積不變；若分出的數(shù)中有數(shù)a≥5．則只要把a拆成2與a－2，由2（a－2）＞a知道積將增大．

（2）分成的正整數(shù)中，2最多兩個．

若2至少有3個，則由3＋3=2＋2＋2及3×3＞2×2×2可知，將3個2換成2個3，積將增大．

所以，將19分成5個3與2個2的和，這些數(shù)的積3⁵×2²=972是最大的．

A5－016  設(shè)a、b、c、d是奇整數(shù)，0＜a＜b＜c＜d，且ad=bc．證明：如果對某整數(shù)k和m有a＋d=2^k和b＋c=2^m，那末a=1．

【題說】第二十五屆（1984年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題6．

【證】因?yàn)?/font>a[（a＋d）－（b＋c）]

=a²＋ad－ab－ac＝a²＋bc－ab－ac=（a－b）（a－c）＞0

所以a＋d＞b＋c，即2^k＞2^m，k＞m．

又由ad=bc，有                        a（2^k－a）=b（2^m－b）

2^m（b－2^k-ma）=b²－a²=（b＋a）（b－a）

可知2^m整除（b＋a）（b－a）．但b＋a和b－a不能都被4整除（因?yàn)樗鼈兊暮褪?/font>2b，而b是奇數(shù)），所以2^m-1必整除b＋a或b－a之一．

因?yàn)?/font>b＋a＜b＋c=2^m，所以b＋a=2^m-1或b－a=2^m-1．

因?yàn)?/font>a、b是奇數(shù)，它們的公因數(shù)也是奇數(shù)，且是b＋a和b－a的因數(shù)，從而是2^m-1的奇因數(shù)，即1．所以a與b互質(zhì)，同理a與c也互質(zhì)．但由ad=bc，知a能整除bc，故a=1．

A5－017  對正整數(shù)n≥1的一個劃分π，是指將n分成一個或若干個正整數(shù)之和，且按非減順序排列（如n=4，劃分π有1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋3，2＋2及4共5種）．對任一劃分π，定義A（π）為劃分π中數(shù)1出現(xiàn)的個數(shù)；B（π）為π中出現(xiàn)不同的數(shù)的個數(shù)（如對n=13的一個劃分π：1＋1＋2＋2＋2＋5而言，A（π）=2，B（π）=3）．求證：對任意正整數(shù)n，其所有劃分π的A（π）之和等于B（π）之和．

【題說】第十五屆（1986<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-h