對(duì)角線與半徑

　　匆明女士突然看出來(lái)，水池的一邊是一個(gè)矩形的對(duì)角線，而該矩形的另一條對(duì)角線恰是這個(gè)圓形區(qū)域的半徑。一個(gè)矩形的對(duì)角線應(yīng)是相等的，半徑是5+4=9米，因此水池的每邊長(zhǎng)是9米，根本不必用勾股定理。

　　請(qǐng)注意這個(gè)解題技巧的意義。你也可以用其它常規(guī)的解答方法試試看，如果你只用勾股定理和三角形的有關(guān)知識(shí)去求解，那么解題過(guò)程恐怕是冗長(zhǎng)繁瑣的。平面幾何中有一個(gè)定理：同一圓內(nèi)兩弦相交，那么一條弦被交點(diǎn)分成的兩部分之積等于另一條弦兩部分之積。如果你記住了這個(gè)定理，那么解題過(guò)程還可能簡(jiǎn)化一些。根據(jù)這個(gè)定理可以得出右邊三角形的高度是56的平方根。再應(yīng)用勾股定理可以算出右邊三角形的斜邊是9米。

　　還有一個(gè)與此相類似的問(wèn)題，便是詩(shī)人亨利?龍菲洛(Henry Longfellow)在他的小說(shuō)《卡文那》(Kavenaugh)中提到的關(guān)于睡蓮的問(wèn)題(見(jiàn)圖2-4)。當(dāng)睡蓮的莖向上直立時(shí)，花高出湖面10厘米；如果你把睡蓮拉向一邊，始終保持莖是直的，花在距莖向上直立時(shí)與水面的接觸點(diǎn)21厘米遠(yuǎn)處接觸水面，請(qǐng)問(wèn)水有多深？

　　圖2-4

　　解決這個(gè)問(wèn)題首先要畫一張示意圖，如上圖所示。這里畫圖就像解決游泳池的邊長(zhǎng)問(wèn)題需要畫圖一樣十分必要，我們的目標(biāo)是確定x的長(zhǎng)度，解決這個(gè)問(wèn)題的方法同樣不止一個(gè)，但如果你記住了相交弦定理，那么這個(gè)問(wèn)題便迎刃而解了。

　　這里還有一個(gè)關(guān)于游泳池的有趣的問(wèn)題，如知道技巧便可很快解決。一只海豚在一個(gè)圓形游泳池的西岸邊A點(diǎn)，沿直線向前游12米，到達(dá)岸邊B點(diǎn)；調(diào)轉(zhuǎn)一個(gè)方向再游5米，到達(dá)岸邊C點(diǎn)，而C點(diǎn)剛好和海豚出發(fā)處A點(diǎn)相對(duì)。請(qǐng)問(wèn)海豚從A點(diǎn)直接游到C點(diǎn)需游多少米?

　　解決問(wèn)題的技巧是，有一個(gè)定理：半圓所對(duì)的圓周角是直角。因此三角形ABC是直角三角形。這里已知兩條直角邊是5和12，那么斜邊自然是13米。

　　以上幾個(gè)問(wèn)題都說(shuō)明這樣一個(gè)道理：解決某些幾何問(wèn)題，有時(shí)應(yīng)用歐幾里德幾何學(xué)的一些最基礎(chǔ)的知識(shí)，就可以使問(wèn)題變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。