化整為半的趣事

　　當你思考一件事物的一半再加上1/2不是一個整數時，你是否感到困惑？如果是這樣，當你試圖通過“唱片要割裂嗎”一事來解決這一謎團時會更迷惑。嗨！這問題的訣竅在于領悟到一個奇數唱片的一半再加上一張唱片的一半正好是一個整數。

　　因為海倫做完第二次贈送時，她只剩下1張唱片，所以在她贈給喬之前，她一定有3張唱片。3的一半是1.5，那么1.5+1/2=2，因而海倫的第二次禮品是2張唱片，最后她只剩下1張完整的唱片。現在可以很容易地回想明白海倫開始時一定有7張唱片，其中4張送給了蘇茜。

　　其實這問題可以通過代數方法解決。為此列和解一個方程是基礎代數中有代表性的練習。但對這樣一個簡單問題要列如下一個復雜方程你一定會感到很吃驚吧：

　　X-(X/2+1/2)-[X-（X/2+1/2）]/2=1

　　通過改變參數，很容易形成同一類型的新問題。例如：假定海倫在贈予的每一步都遵循同樣的程序，即把她的唱片分成兩半再加上半張作為1份禮物．但這次做3次這樣的贈送而非兩次，最后她一張唱片也沒有了，那么開始她有多少張唱片？結果非常有趣，唱片的數目與原來一樣，仍是7張。假如她把“對半分”的過程重復四次，最后剩下1張唱片，那么她開始有多少張唱片？5次呢？通過這些數字可以產生一個什么樣的數列呢？

　　另外，每次贈送出禮品的參數可以是變化的。假如海倫每次贈送出她的唱片的1/3再加上1張唱片的1/3，兩次后，她還剩下三張唱片，那么她開始總共有多少張唱片呢？如果重復上述過程三次，最后還剩下三張唱片，這題可解嗎？通過變化參數。包括步驟數、每一步的數量、最后剩下的完整唱片數，你能發(fā)現在每一張唱片都不被割裂的情況下，此類問題并不是總有解的。那么需要什么樣的前提條件這類不需割裂唱片的題目才能設計出來呢？

　　其實，在每一步中，步與步的數量不一定要完全相同，比如：下面是一道每一步數目都變化的難題。

　　一個小孩養(yǎng)了一池金魚。一次他準備全部將其賣掉，具體工作分成五步做：

　　1．他賣掉全部金魚的一半再加上半條魚；

　　2．他又賣掉剩下金魚的1/3再加上1/3條魚；

　　3．他再賣掉剩下金魚的1/4再加上1/4條魚；

　　4．他最后賣掉所剩魚的1/5再加上1/5條魚；

　　5．最后他一次賣掉剩下的全部11條魚。

　　其實在每一過程中都沒有任何一條魚被切開或毀環(huán)，那么他最開始有多少條金魚？雖然答案是59條，但這問題并不像前述問題一樣容易解答。這點當你解答完畢后自然會明白。

　　下面是一道同一類型但稍有變動的題。

　　一位女士袋內有一定數量的鈔票，沒有其它錢幣，

　　1．她花了一半的錢買了一頂遮陽帽，并給了商店外的乞丐1元；

　　2．她花掉剩下錢的一半吃午飯并給侍者小費2元；

　　3．她又花了剩下錢的一半買了一本書，回家前，又光顧雞尾酒家買了三元的飲料；

　　現在，她只剩下一元錢。假設她一直沒兌換過零錢，那么開始她有多少錢？(答案在書后找)稍加注意，你能發(fā)現在每種變化中，最后剩下的物件的數目總是已知的。雖然沒有這一條件題目最后也能解。但它需要整數不定方程的知識。這一類型中最著名的難題構成了一則短故事的根據，這則故事被美國作家本?阿姆斯?威廉姆斯發(fā)表在1926年10月9日的“星期六晚報”上。

　　這個故事的標題叫“椰子”。故事梗概是五個男人和一只猴子被失事的船擱淺在一座島上。第一天，他們花了一整天的時間采摘了一大堆椰子以備以后充饑。晚上，其中某一個人醒來后覺得應該把他應得的一份拿出來，于是他把整堆椰子分成五份，最后還剩下一個。他決定把這一個椰子分給猴子。然后他藏好他的一份后再整理好椰子堆，回去睡覺了。

　　不久又一個人醒了，并且產生了同樣的念頭。于是他把椰堆分成五份，最后又恰巧剩一個分給猴子。他如上整理好后也回去睡覺了。第三、四、五個人也重復了同樣的過程。第二天早晨，當他們都醒后，把剩下的椰子分成均等的五份，這次正巧一個椰子也沒剩下。

　　那么最開始他們采摘了多少個椰子？

　　這個問題有無窮多個答案，其中最少的一個數是3121。這一問題很難。