將半張棋盤中的45個(gè)格點(diǎn)進(jìn)行黑白相間染色（如圖2）。由于棋盤中共有45個(gè)格點(diǎn)，黑點(diǎn)數(shù)與白點(diǎn)數(shù)不可能相等。而馬走“日”，跳一步只能從黑點(diǎn)跳到白點(diǎn)，或從白點(diǎn)跳到黑點(diǎn)。如果馬從某點(diǎn)出發(fā)跳遍半張棋盤，每一步都不重復(fù)，而且回到原出發(fā)點(diǎn)，則黑點(diǎn)數(shù)與白點(diǎn)數(shù)必然相等。但現(xiàn)在知道黑點(diǎn)、白點(diǎn)數(shù)目不相等，因此馬可能從某點(diǎn)出發(fā)，一步不重復(fù)地跳回原出發(fā)點(diǎn)。

　　由于B點(diǎn)是黑點(diǎn)，A點(diǎn)是白點(diǎn)，兩點(diǎn)不同色，馬只能從黑點(diǎn)跳到白點(diǎn)，或從白點(diǎn)跳到黑點(diǎn)，從B跳到A必須跳奇數(shù)步，6步辦不到。

　　第3個(gè)問題也很簡單，由于C點(diǎn)與D點(diǎn)同色，馬從C處跳能夠“將軍”的地點(diǎn)必與D點(diǎn)異色，也就是與C點(diǎn)異色，由問題2的解答知，不管怎樣跳，都要跳奇數(shù)步。

問題4 能否用17個(gè)形如圖3的卡片將圖4覆蓋？

　　圖4共有34個(gè)小方格，17個(gè)1×2的卡片也有34個(gè)小方格，好象能覆蓋住。我們將圖4黑白相間染色，得到圖5。細(xì)心觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖5中黑格有16個(gè)，白格有18個(gè)，而1×2的卡片每次只能蓋住一個(gè)黑格與一個(gè)白格，所以17個(gè)1×2的卡片應(yīng)當(dāng)蓋住黑、白格各17個(gè)，不可能蓋住圖4。

問題5 圖6的七種圖形都是由4個(gè)相同的小方格組成的�，F(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè)4×7的長方形（可以重復(fù)使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？

　　先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)（7）；用2種圖形也沒問題，例如用1個(gè)（7），6個(gè)（1）。經(jīng)試驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形（如圖7）。

　　能否將7種圖形都用上呢？7個(gè)圖形共有（4×7＝）28（個(gè)）小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個(gè)，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實(shí)上卻拼不成。為了說明這個(gè)事實(shí)，我們將4×7的長方形黑、白相間染色（如圖8），圖中黑白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各12個(gè)，還剩下黑、白格各2個(gè)。第（2）種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格、1個(gè)白格或3個(gè)白格、1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個(gè)黑格、2個(gè)白格。

　　綜上所述，要拼成4×7的長方形，最多能用上6種圖形。