二、比的變化
已知兩個數(shù)量的比，當(dāng)這兩個數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.
例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5∶7.甲、乙原來各得多少分？
解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來算.
5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來
甲得22.5÷5×20=90（分），
乙得 22.5÷5×16=72（分）.
答：原來甲得90分，乙得72分.
我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.
解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.
（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
15x=12×22.5
x=18.
甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.
解：其他球的數(shù)量沒有改變.
增加8個紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是
5∶（14-5）=5∶9.
在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是
1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
因此8個紅球是5-4.5=0.5（份）.
現(xiàn)在總球數(shù)是
答：現(xiàn)在共有球224個.
本題的特點是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變.把1∶2寫成4.5∶9，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解：
�。▁+8）∶2x=5∶9.
例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是8∶5，開支的錢數(shù)之比是8∶3，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？
解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.
如果他們開支的錢數(shù)之比也是8∶5，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8∶5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有
240∶x=8∶5，x=150（元）.
實際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出
答：張家收入720元，李家收入450元.
解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.
我們畫出一個示意圖：
張家開支的3倍是（8份-240）×3.
李家開支的8倍是（5份-270）×8.
從圖上可以看出
5×8-8×3=16份，相當(dāng)于
270×8-240×3=1440（元）.
因此每份是1440÷16=90（元）.
張家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.
本題也可以列出比例式：
�。�8x-240）∶（5x-270）=8∶3.
然后求出x.事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.
例14 A和B兩個數(shù)的比是8∶5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).
解：減少相同的數(shù)34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用這一點.
8∶5，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1.將前項與后項都乘以3，即2∶1=6∶3，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.
A數(shù)是17×8=136，B數(shù)是17×5=85.
答：A，B兩數(shù)分別是136與85.
本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的2∶1，改寫成8∶4.
例15 小明和小強原有的圖畫紙之比是4∶3，小明又買來15張.小強用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是5∶2.問原來兩人各有多少張圖畫紙？
解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.
4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，
新的1份=原來1份+1
原來4份，新的5份，5-4=1，因此
新的1份有15-1×4=11（張）.
小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），
小強原有圖畫紙11×2+8=30（張）.
答：原來小明有40張，小強有30張圖畫紙.
解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數(shù)（實際上就是通分）
4∶3=20∶15
5∶2=20∶8.
但現(xiàn)在是20∶8，因此這個比的每一份是
當(dāng)然，也可以采用實質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.
解三：設(shè)原來小明有4“份”，小強有3“份”圖畫紙.
把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2，小強現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：
從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當(dāng)于圖畫紙15×2+8×5=70（張）.
因此每份是10張，原來小明有40張，小強有30張.
例11至15這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運算，對小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維.
例16 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點5小時，細蠟燭可以點4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點了多少時間？
我們把問題改變一下：設(shè)細蠟燭長度是2，每小時點
等需要時間是
答：這兩支蠟燭點了3小時20分.
把細蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個稍復(fù)雜的例子.
例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？
解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只.
因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后應(yīng)剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.
紅球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.
白球有 7×7＋3＝52（只）.
原來紅球比白球多 158-52＝106（只）.
答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.
三、比例的其他問題
，這里必須用分?jǐn)?shù)來說，而不能用比.實際上它還是隱含著比例關(guān)系：
（甲-7）∶乙= 2∶3.
因此，有些分?jǐn)?shù)問題，就是比例問題.
加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？
答：這些畫片有261張.
解：設(shè)最初的水量是1，因此最后剩下的水是
樣重，就有
因此原有水的重量是
答：容器中原來有8.4千克水.
例18和例19，通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.“比”有前項和后項，當(dāng)兩項合在一起寫成一個分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進行加、減運算.這就是把比（或除法）寫成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫成比，計算就方便些.
例20 有兩堆棋子， A堆有黑子 350個和白子500個， B堆有黑子
堆中拿到 A堆黑子、白子各多少個？
子100個，使余下黑子與白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持3∶1的比.
現(xiàn)在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450個），與已有白子500個，相差
從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個，又要符合3∶1這個比，要拿出白子數(shù)是
50÷（3-1）＝25（個）.
再要拿出黑子數(shù)是 25×3＝ 75（個）.
答：從B堆拿出黑子 175個，白子25個.
人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？
解一：先畫出如下示意圖：
6-5＝1，相當(dāng)于圖中相差 17-12＝5（份），初中總?cè)藬?shù)是 5×6＝30份，因此，每份人數(shù)是
520÷（30-17）= 40（人）.
因此，高、初中畢業(yè)生共有
40×（17＋12）＝ 1160（人）.
答：高、初中畢業(yè)生共1160人.
計算出每份是
例21與例14是完全一樣的問題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？）解二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計算不如解一簡便.
例18，19，20，21四個例題說明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān)鍵還是在于靈活運用.
下的錢共有多少元？
解：設(shè)鋼筆的價格是1.
這樣就可以求出，鋼筆價格是
張剩下的錢數(shù)是
李剩下的錢數(shù)
答：張、李兩人剩下的錢共28元.
題中有三個分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計算單位，設(shè)定鋼筆的價格為1.每個人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計算單位是常用的解題技巧.
作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個例題，介紹一下“混合比”.
用100個銀幣買了100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？
這是十八世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）提出的問題.
們設(shè)1頭豬和5頭綿羊為A組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使
�。�1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，
或簡寫成 6A＋5B＝100.
就恰好符合均價是1.
類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的約數(shù)，符合要求.
A＝5，豬 5頭，綿羊 25頭，
B=4，山羊12頭，綿羊8頭.
豬∶山羊∶綿羊=5∶12∶（25＋8）.
現(xiàn)在已把1∶5和3∶2兩種比，組合在一起通常稱為混合比.
要注意，這樣的問題常常有多種解答.
A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能產(chǎn)生解答，相應(yīng)的豬、山羊、綿羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
答：有三組解答.買豬、山羊、綿羊的頭數(shù)是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
求混合比是一種很實用的方法，對數(shù)學(xué)有興趣的小學(xué)同學(xué)，學(xué)會這種方法是有好處的，會增加靈活運用比例的技巧.
通常求混合比可列下表：
下面例題與例23是同一類型，但由于題目的條件，解法上稍有變化.
例24 某商品76件，出售給33位顧客，每位顧客最多買三件，買 1件按定價，買2件降價 10％，買 3件降價 20％.最后結(jié)算，平均每件恰好按原定價的 85％出售，那么買3件的顧客有多少人？
解：題目已給出平均數(shù) 85％，可作比較的基準(zhǔn).
1人買3件少 5％×3；
1人買2件多 5％×2；
1人買1件多 15％ ×1.
1人買3件與1人買1件成A組，即按1∶1比例，2人買3件與3人買2件成B組，即按2∶3的比例.
A組是2人買4件，每人平均買2件.
B組是5人買12件，每人平均買2.4件.
現(xiàn)在已建立了一個雞兔同籠型問題：總腳數(shù)76，總頭數(shù)33，兔腳數(shù)2.4，雞腳數(shù)2.
B組人數(shù)是
�。�76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），
A組人數(shù)是 33-25＝8（人），其中買 3件4人，買 1件4人.
10＋ 4＝ 14（人）.
答：買3件的顧客有14位.
建立兩種比的A組和B組，與例23的解題思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因為對A組和B組，不僅要從人數(shù)考慮滿足2A+5B＝33，還要從買的件數(shù)考慮滿足 4A＋12B＝76.這已完全確定了A組和B組的數(shù)，不必再求混合比.
