我們重點研究正方形中整體與局部的關系，先從最為簡單的情況入手。
問題：已知正方形ABCD中（如圖1），E、F兩點分別是CD和AD邊上的中點。連接AE和BF兩條線段，將正方形分為了四個部分。如果大正方形的面積為1，那么這四個部分的面積分別是多少？
圖中四個部分分別為三角形ABO和AOF，四邊形FOED和OBCE。首先為了發(fā)現(xiàn)各個部分之間的關系，我們連接兩條輔助線OD和OC，如圖2：
這時不難發(fā)現(xiàn)三角形AOF與FOD的面積相等，三角形DOE和EOC的面積相等。而且還有如下結論成立：
如果設三角形AOF的面積為a，那么三角形FOD的面積也是a，三角形
下方程：
所以本題答案分別為：
用圖形表示出來就是圖3：
本題中的“結論2”是解決有關長方形問題時經(jīng)常用到的，希望同學們熟練掌握。在上面問題的基礎上，我們還可以解決如下問題：
問題：如圖4，在正方形ABCD中，E、F、M、N分別是四條邊上的中點。分別連接AE、BF、DM、CN四條線段，將正方形分為了九個部分。如果大正方形的面積為1，求這九個部分的面積。
的面積都是：
中間小正方形的面積為：
本題利用“剪剪拼拼”可以更簡便地解決，請同學們自己思考。我們還可以在前面問題的啟發(fā)下，編出下面的問題：
問題：如圖5，在正方形ABCD中， E、 F、 M、N分別是四條邊上的三等分點。分別連接AE、BF、DM、CN四條線段，將正方形分為了九個部分。如果大正方形的面積為1，求這九個部分的面積。
我們仿照前面的思路解決本題。先在正方形中去掉兩條線段并增添兩條輔助線，如圖6：
這時就有如下結論成立：
1.三角形FOD的面積是三角形AOF面積的2倍。
2.三角形OCD的面積是三角形OED面積的2倍。
設三角形AOF的面積為a，則三角形FOD的面積為2a，三角形DOE的面
形（為什么是梯形？）的面積都是：
中間四邊形（其實是正方形，為什么？）的面積為：
我們還可以編出更為復雜的問題，比如將上題修改為：E點是二等分點，F(xiàn)點是三等分點，M點是四等分點，N點是五等分點，其它的條件和結論不變。這樣一來，實際上僅僅是破壞了對稱性，增加了計算的繁難度，但是方法卻沒有改變，請同學們自己敘述出問題，并作出完整的解答。
以上所有問題的思路都是一致的，就是通過添加輔助線尋求不同部分之間的關系，進而找到局部與整體的關系。下面我們再來看一個與梯形有關的問題。
問題：如圖7，是一個梯形ABCD，已知梯形的下底CD長度是上底AB長度的3倍，梯形面積為1。梯形的兩條對角線將整個梯形分為了四個部分，求這四個部分的面積。
所求四個部分分別為三角形ABO、AOD、DOC和BOC。首先不難發(fā)現(xiàn)三角形AOD和BOC的面積相等。由于梯形的下底CD長度是上底AB長度的3倍，所以三角形ADC的面積是三角形ABC面積的3倍，因此就得到三角形AOD的面積是三角形ABO的3倍，三角形DOC的面積是三角形BOC面積的3倍，如果假設三角形ABO的面積是1倍量，那么三角形AOD和BOC的面積就是3倍量，三角形COD的面積是9倍量。因此三角形ABO的面積為：
三角形AOD和BOC的面積都是：
從以上問題我們可以總結出一條經(jīng)驗，就是要學會“找關系”。
